Question

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0、6，乙获胜的概率为0、4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．
（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ得分布列及数学期望．

Answer

（1）由题意知前2局中，甲、乙各胜1局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．
（2）由题意知ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望．
【解析】
记Ai表示事件：第i局甲获胜，（i=3、4、5）
Bi表示第j局乙获胜，j=3、4
（1）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利，
∵前2局中，甲、乙各胜1局，
∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，
∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5
由于各局比赛结果相互独立，
∴P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）
=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6
=0.648
（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3
由于各局相互独立，得到ξ的分布列
P（ξ=2）=P（A3A4+B3B4）=0.52
P（ξ=3）=1-P（ξ=2）=1-0.52=0.48
∴Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48．