Question

如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，PA=AC=2，AB=1，M为PC的中点．
（1）求证：平面PCB⊥平面MAB；
（2）求点A到平面PBC的距离
（3）求二面角C-PB-A的正切值．

Answer

法一：（1）证明平面PCB内的直线PC，垂直平面MAB内的两条相交直线MA，AB即可证明PC⊥平面MAB，就证明了平面PCB⊥平面MAB；
（2）在平面MAB中作AE⊥MB，垂足是E，说明AE长为点A到平面PBC的距离，解直角三角形ABM，求点A到平面PBC的距离．
（3）在平面PAB中作AF⊥PB，垂足是F，连接CF，说明∠AFC是二面角C-PB-A的平面角，解三角形AFC求二面角C-PB-A的正切值．
法二：（2）建立如图的空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量为=（x，y，z），利用求出距离．
（3）平面PAB的法向量为，平面PBC的法向量为，求出即可．
证明：方法一：（1）∵PA⊥AB，AB⊥AC
∴AB⊥平面PAC，故AB⊥PC
∵PA=AC=2，M为PC的中点
∴MA⊥PC（2分）
∴PC⊥平面MAB
又PC⊂平面PCB，所以平面PCB⊥平面MAB（4分）
（2）如图，在平面MAB中作AE⊥MB，垂足是E
∵平面PCB⊥平面MAB，∴AE⊥平面PBC∴AE长为点A到平面PBC的距离
又∵AB⊥平面PAC，∴AB⊥AM
在直角三角形ABM中，AB=1，，（6分）
∴AE•MB=AB•AM，∴即为所求（9分）
（3）在平面PAB中作AF⊥PB，垂足是F，连接CF
∵PA⊥AC，AB⊥AC，∴AC⊥平面PAB
∴AC⊥AF∴AF是CF在平面PAB内的射影，∴CF⊥PB
∴∠AFC是二面角C-PB-A的平面角，（11分）
在直角三角形PAB中，PA=2，AB=1，，可得
∴在直角三角形AFC中，即为所求（14分）
方法二：（1）同方法一（4分）
（2）以A为原点，建立如图的空间直角坐标系
由已知可得各点坐标为A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），P（0，0，2），M（1，0，1）（5分）
设平面PBC的法向量为=（x，y，z），且，
∴n，n
∴x=z，y=2z，令z=1，可得x=1，y=2
∴n=（1，2，1），又，
∴点A到平面PBC的距离（9分）
（3）∵PA⊥AC，AB⊥AC，∴AC⊥平面PAB
∴平面PAB的法向量为，设二面角C-PB-A的大小为θ
∴，故即为所求（14分）