Question

设函数f（x）=2ax³-（6a+3）x²+12x（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（-∞，1）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer

（1）先求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，最后代入函数求出极大值与极小值；
（2）欲使函数f（x）在区间（-∞，1）上是增函数，只需使在区间（-∞，1）上f′（x）≥0恒成立，注意分类讨论即可．
【解析】
（Ⅰ）当a=1时，f（x）=2x3-9x2+12x（1分）
∴f′（x）=6x2-18x+12=6（x2-3x+2），（2分）
令f′（x）=0，得x1=1，x2=2，列表

∴f（x）的极大值为f（1）=5，f（x）的极小值为f（2）=4（6分）
（Ⅱ）f′（x）=6ax2-（12a+6）x+12=6[ax2-（2a+1）x+2]=6（ax-1）（x-2）（7分）
①若a=0，则f（x）=-3x2+12x，
此函数在（-∞，2）上单调递增，满足题意（8分）
②若a≠0，则令f′（x）=0，得x1=2，，
由已知，f（x）在区间（-∞，1）上是增函数，
即当x＜1时，f′（x）≥0恒成立（10分）
若a＞0，则只须，即0＜a≤1（11分）
若a＜0，则，当时，f'（x）＜0，
则f（x）在区间（-∞，1）上不是增函数
综上所述，实数a的取值范围是[0，1]（13分）