Question

已知等比数列{a_n}，S_n是其前n项的和，且a₁+a₃=5，S₄=15．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设，求数列{b_n}的前n项和T_n
（III）比较（II）中T_n与（n=1，2，3…）的大小，并说明理由．

Answer

（I）设{an}的公比为q，则由题意知a1+a3=a1+a1q2=a1（1+q2）=5，S4-（a1+a3）=a2+a4=a1q（1+q2）=10，由此可知an=2n-1．
（II）由题意知，，由此可知．
（III）由知当n=1、2时，Tn=；当n≥3时Tn＜．
【解析】
（I）设数列{an}的公比为q，则
方法一：a1+a3=a1+a1q2=a1（1+q2）=5，S4-（a1+a3）=a2+a4=a1q（1+q2）=10（2分）
∴q=2，a1=1，则an=2n-1（4分）
方法二：易知q≠1，则a1+a3=a1+a1q2=a1（1+q2）=5，
则1+q=3（2分）
（以下同方法一）（4分）
（II）由（I）可得，，
所以数列{bn}是一个以为首项，1为公差的等差数列（5分）
∴
=
（III）∵（11分）
∴当n=1、2时，，即Tn=（12分）
当n≥3时，，即Tn＜（14分）