Question

已知二次函数f（x）的二次项系数为负，对任意实数x都有f（2-x）=f（2+x），问当f（1-2x²）与f（1+2x-x²）满足什么条件时才有-2＜x＜0？

Answer

由二次函数f（x）对任意实数x都有f（2-x）=f（2+x）知其对称轴，
结合它的二次项系数为负可得其单调性，所以只需探讨1-2x2和1+2x-x2的大小关系，从而得到x的范围．
【解析】
∵对任意实数x都有f（2-x）=f（2+x），
∴函数的对称轴是直线x=2，
∵f（x）的二次项系数为负，
∴f（x）在（-∞，2]上单增，在（2，+∞）上单调．
又∵1-2x2≤1，1+2x-x2=-（x-1）2+2≤2．
∴需讨论1-2x2与1+2x-x2的大小．
由1+2x-x2-（1-2x2）=x（x+2）知
当x（x+2）＜0，即-2＜x＜0时，1+2x-x2＜1-2x2．
故f（1+2x-x2）＜f（1-2x2）时，有-2＜x＜0．