Question

已知f（x）在（0，+∞）上是增函数，而且f（x）＞0，f（3）=1．判断在（0，3）上是增函数还是减函数，并加以证明．

Answer

在（0，3）上任取2个值x1＜x2，化简g（x1）-g（x2）的式子，利用 0＜f（x1）＜f（x2）≤f（3）=1，判断g（x1）-g（x2）＞0，从而证明函数在（0，3）上是减函数．
【解析】
函数g（x）在（0，3）上是减函数．
证明如下：任取0＜x1＜x2≤3，
则．
∵f（x）在（0，+∞）是增函数，∴f（x1）-f（x2）＜0．又f（x）＞0，f（3）=1，
∴0＜f（x1）＜f（x2）≤f（3）=1，
∴0＜f（x1）•f（x2）＜1，
，．
∴g（x1）-g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2）
由此可知，函数在（0，3）上是减函数．