Question

如图，已知等腰直角三角形RBC，其中∠RBC=90°，RB=BC=2．点A、D分别是RB、RC的中点，现将△RAD沿着边AD折起到△PAD位置，使PA⊥AB，连接PB、PC．
（1）求证：PB⊥BC；
（2）在线段PB上找一点E，使AE∥平面PCD；
（3）求二面角A-CD-P的余弦值．

Answer

（1）欲证BC⊥PB，先证BC⊥平面PAB，可证PA⊥BC，PA∩AB=A，BC⊥BA，根据线面垂直的判定定理可证得；
（2）取线段PB的中点E，连接AE，PR，可证得AE∥平面PRC，平面PRC即是平面PDC；
（3）取RD的中点F，连接AF、PF，可证∠AFP是二面角A-CD-P的平面角，在三角形AFP中求出∠AFP的余弦值即可．
【解析】
（1）∵点A、D分别是RB、RC的中点，
∴AD∥BC．（1分）
∴∠PAD=∠RAD=∠RBC=90°，
∴PA⊥AD，
∴PA⊥BC．（2分）
又∵PA∩AB=A，BC⊥BA，
∴BC⊥平面PAB，（3分）
∴BC⊥PB．（4分）
（2）取线段PB的中点E，连接AE，PR．（5分）
显然，平面PAB∩平面PCD=PR．
∵RA=BA，BE=PE，
∴AE∥PR．（6分）
又∵AE⊄平面PRC，
∴AE∥平面PRC（即平面PDC），（7分）
故线段PB的中点E是符合题意要求的点．（8分）
（3）取RD的中点F，连接AF、PF．（9分）
∵RA=AD=1，AP⊥AR且AP⊥AD，AP=1，
∴PR=PD=，
∴AF⊥DR，PF⊥DR，
∴∠AFP是二面角A-CD-P的平面角．（11分）
∵DR=，
∴AF=，PF=，
∴cos∠AFP=