Question

设圆M：x²+y²=8，将圆上每一点的横坐标不变，纵坐标压缩到原来的，得到曲线C．点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交曲线C于A、B两个不同点．
（1）求曲线C的方程；
（2）求m的取值范围．

Answer

（1）在曲线C上任取一个动点P（x，y），根据图象的变换可知点（x，2y）在圆x2+y2=8上．代入圆方程即可求得x和y的关系式，即曲线C的方程．
（2）根据题意可得直线l的方程，进而与椭圆方程联立，消去y，进而根据判别式大于0求得m的范围，进而根据m≠0，最后综合可得答案．
【解析】
（1）在曲线C上任取一个动点P（x，y），则点（x，2y）在圆x2+y2=8上．
所以有x2+（2y）2=8，即曲线C的方程为．
（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，又kOM=，
∴直线l的方程为y=x+m．
由，得x2+2mx+2m2-4=0．
又∵直线l交曲线C于A、B两个不同点，
∴△=（2m）2-4（2m2-4）＞0，解得-2＜m＜2，
又∵m≠0，
∴m的取值范围是-2＜m＜0或0＜m＜2．