Question

已知函数f（x）=x²-alnx在（1，2]是增函数，在（0，1）为减函数．
（1）求f（x）、g（x）的表达式；
（2）求证：当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯一解．

Answer

（1）已知函数f（x）在（1，2]是增函数，g（x）在在（0，1）为减函数．则在（1，2]上f'（x）≥0恒成立，在（0，1）上g（x）≤0恒成立．
（2）由（1）不难给出方程f（x）=g（x）+2，然后构造函数，利用函数的单调性证明方程解的唯一性．
【解析】
（I），依题意f'（x）≥0，x∈（1，2]，即a≤2x2，x∈（1，2]．
∵上式恒成立，∴a≤2．①
又，依题意g'（x）≤0，x∈（0，1），即，x∈（0，1）．
∵上式恒成立，∴a≥2．②
由①②得a=2
∴
（II）由（I）可知，方程f（x）=g（x）+2，
设，

令h'（x）＞0，并由x＞0，得，解知x＞1
令h'（x）＜0，由x＞0，解得0＜x＜1
列表分析：
知h（x）在x=1处有一个最小值0
当x＞0且x≠1时，h（x）＞0，
∴h（x）=0在（0，+∝）上只有一个解．
即当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯一解