Question

已知函数f（x）=x³-3x及y=f（x）上一点P（1，-2），过点P作直线l．
（1）求使直线l和y=f（x）相切且以P为切点的直线方程；
（2）求使直线l和y=f（x）相切且切点异于P的直线方程．

Answer

（1）由已知可得斜率函数为f′（x）=3x2-3，进而求出所过点切线的斜率，代入点斜式公式即可．
（2）设另一切点为（x，y），求出该点切线方程，再由条件计算．
【解析】
（1）由f（x）=x3-3x得，f′（x）=3x2-3，
过点P且以P（1，-2）为切点的直线的斜率f′（1）=0，
∴所求直线方程为y=-2．
（2）设过P（1，-2）的直线l与y=f（x）切于另一点（x，y），
则f′（x）=3x2-3．
又直线过（x，y），P（1，-2），
故其斜率可表示为=，
又=3x2-3，
即x3-3x+2=3（x2-1）•（x-1），
解得x=1（舍）或x=-，
故所求直线的斜率为k=3×（-1）=-，
∴y-（-2）=-（x-1），
即9x+4y-1=0．