Question

设a＞0，函数．
（I）若f（x）在区间（0，1]上是增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）求f（x）在区间（0，1]上的最大值．

Answer

（1）要使f（x）在区间（0，1]上是增函数，只要上恒成立，将a参数分离即可求出a的范围；
（2）欲求f（x）在区间（0，1]上的最大值，即研究函数f（x）在区间（0，1]上单调性，对a进行讨论，求出函数的最值．
【解析】
（I）对函数．（2分）
要使f（x）在区间（0，1]上是增函数，只要上恒成立，
即上恒成立（4分）
因为上单调递减，所以上的最小值是，
注意到a＞0，所以a的取值范围是．（6分）
（II）【解析】
①当时，由（I）知，f（x）在区间（0，1]上是增函数，
此时f（x）在区间（0，1]上的最大值是．（8分）
②当，
解得．（10分）
因为，
所以上单调递减，
此时f（x）在区间（0，1]上的最大值是．（13分）
综上，当时，f（x）在区间（0，1]上的最大值是；
当时，f（x）在区间（0，1]上的最大值是．（14分）