Question

数列{a_n}中，，n∈N^*．
（I）若，设，求证数列{b_n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（II）若a₁＞2，n≥2，n∈N，用数学归纳法证明：．

Answer

（I）由题意知bn+1=2bn，，数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，由此可，所以．
（II）根据题设条件利用数学归纳法进行证明．
【解析】
（I）证明：
∵，
（2分）
∵，∴数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，（4分）

∴bn=2n，即，得，所以．（6分）
（II）证明：（i）当n=2时，∵a1＞2，
∴，
∴，
∴，不等式成立；（8分）
（ii）假设当n=k（k≥2）时，成立，
那么，当n=k+1时，去证明
∵，
∴ak+1＞2；
∵，
∴；
∴，
所以n=k+1不等式也成立，
由（i）（ii）可知，不等式成立．（12分）