Question

根据如图所示的程序框图，将输出的a，b值依次分别记为a₁，a₂，…，a_n，b₁，b₂，…，b_n，其中n∈N^*，n≤2010．
（I）分别求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（II）令c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）根据框图可知an+1=an+2整理得an+1-an=2，根据等差数列的定义判断出{an}为等差数列，进而根据等差数列的通项公式求得an，根据bn+1=3bn，整理得判断出{bn}为等比数列，根据首项和公比求得{bn}的通项公式．
（II）根据（1）中求得的an和bn，求得cn，进而利用错位相减法求得答案．
【解析】
（I）依框图得，an+1=an+2，a1=1，
即an+1-an=2，∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列
∴an=1+（n-1）×2=2n-1
又bn+1=3bn，b1=3，
即，∴数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列
∴bn=3×3n-1=3n

（II）由（I）得cn=anbn=（2n-1）•3n
∵数列{cn}的前n和为Tn∴Tn=c1+c2+c3++cn-1+cnTn=1×31+3×32+5×33++（2n-3）×3n-1+（2n-1）×3n①
∴3Tn=1×32+3×33+5×34++（2n-3）×3n+（2n-1）×3n+1②
将①-②得：-2Tn=3+2×32+2×33+2×34++2×3n-（2n-1）×3n+1=-3+2（3+32+33+34++3n）-（2n-1）×3n+1
=
Tn=（n-1）×3n+1+3