Question

已知函数f（x）=sinx，数列{a_n}满足
（1）求证：当时，不等式恒成立；
（2）设S_n为数列{a_n}的前n项和，求证：．

Answer

（1）求出f（x）-x=sinx-x，通过导数说明函数的单调性，说明函数大于极小值，同时利用增函数证明f（x）-x=sinx-x，得到结果．
（2）由（1）0＜an＜1，，利用放大法，求出数列Sn=a1+a2++an；
Sn，使得问题得证．
证明：（1）①令g（x）=f（x）-x=sinx-x，
当时，g'（x）=cosx-1＜0∴g（x）在上是减函数，
所以g（x）＜g（0）=0，∴f（x）-x=sinx-x，
恒成立；（2分）
②令=，
设的根为x，即．
∵y=cosx在上是减函数，
所以x∈（0，x）时，，
h（x）为增函数；时，，h（x）为减函数；．
∵，∴h（x）＞0恒成立，
即．
综上：当时，不等式恒成立；（6分）
（2）由条件知0＜an＜1，，
由（Ⅰ）得，即，
由an＜an+1可知数列{an}为递增数列，
所以Sn=a1+a2++an．（8分）
由得=，
∴Sn=a1+a2++an==．
综上：（n∈N+）成立，
当n=1时，等号成立．（12分）