(1)根据bn=an+1-an,进而表示出bn+1=,求得为定值,判断数列{bn}是等比数列,公比为,通过b1=a2-a1求得数列的首项,进而根据等比数列的通项公式求得数列{bn}的通项公式.
(2)把(1)求得的bn代入cn,进而可求得cn+1-cn结果为定值,且小于0可判断出数列{cn}是递减的等差数列,令cn>0得n<2+log215,求得数列{cn}的前5项都是正的,第6项开始全部是负的,进而可判断n=5时,Sn取最大值.
【解析】
(I)∵bn=an+1-an,∴bn+1=an+2-an+1,
∴
∴数列{bn}是等比数列,
∵b1=a2-a1=30∴.
(II)cn=log215+2-n,
∵cn+1-cn=-1,
∴数列{cn}是递减的等差数列,
令cn>0得n<2+log215,∵log215∈(3,4),
∴2+log215∈(5,6)
∴数列{cn}的前5项都是正的,第6项开始全部是负的,
∴n=5时,Sn取最大值.