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已知定义在R上的函数f(x)和数列{an}满足下列条件:an=f(an-1)(n...

已知定义在R上的函数f(x)和数列{an}满足下列条件:an=f(an-1)(n=2,3,4,…),manfen5.com 满分网,3,4,…),若a1=30,a2=60,令bn=an+1-an(n∈N+).
(I)证明数列{bn}是等比数列,并求数列{bn}的通项公式;
(II)设cn=log2bn,Sn=c1+c2+c3+…+cn,求使Sn取最大值时的n值.
(1)根据bn=an+1-an,进而表示出bn+1=,求得为定值,判断数列{bn}是等比数列,公比为,通过b1=a2-a1求得数列的首项,进而根据等比数列的通项公式求得数列{bn}的通项公式. (2)把(1)求得的bn代入cn,进而可求得cn+1-cn结果为定值,且小于0可判断出数列{cn}是递减的等差数列,令cn>0得n<2+log215,求得数列{cn}的前5项都是正的,第6项开始全部是负的,进而可判断n=5时,Sn取最大值. 【解析】 (I)∵bn=an+1-an,∴bn+1=an+2-an+1, ∴ ∴数列{bn}是等比数列, ∵b1=a2-a1=30∴. (II)cn=log215+2-n, ∵cn+1-cn=-1, ∴数列{cn}是递减的等差数列, 令cn>0得n<2+log215,∵log215∈(3,4), ∴2+log215∈(5,6) ∴数列{cn}的前5项都是正的,第6项开始全部是负的, ∴n=5时,Sn取最大值.
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考点分析:
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(II)令cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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