Question

数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N^*，总有a_n、S_n、（a_n）²成等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设，数列{b_n}的前n项和是T_n，求证：．

Answer

（I）由等差数列等差中项性质可知2Sn=an+an2把an=Sn-Sn-1代入得到an和an-1的关系式，整理得an-an-1=1进而可以推断数列{an}是公差为1的等差数列，再根据2S1=a1+a12求得a1，最后根据等差数列的通项公式可得数列{an}的通项公式．
（II）把（I）数列{an}的通项公式代入可得数列{bn}的通项公式．{bn}的通项公式是由等差数列和等比数列构成，进而可用错位相减法求得{bn}的前n项和Tn=，进而推断Tn＜2，又根据Tn+1-Tn=推断{Tn}是递增数列可知T1是数列{Tn}最小项，综合可得Tn范围，原式得证．
【解析】
（I）由已知2Sn=an+an2∴，得2an=an+an2-an-1-an-12
∴an+an-1=（an+an-1）（an-an-1），
∵an，an-1均为正数，∴an-an-1=1（n≥2）∴数列{an}是公差为1的等差数列
又n=1时，2S1=a1+a12，解得a1=1∴an=n．（n∈N*）
（II）∵，由（I）知，

∴
∴==（n∈N*）
∵，
∴{Tn}是递增数列，∴
又∵，∴，∴得证．