Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1（a＞0，b∈R），方程f（x）=x有两个实数根x₁、x₂．
（Ⅰ）如果x₁＜2＜x₂＜4，设函数f（x）的对称轴为x=x，求证x＞-1；
（Ⅱ）如果0＜x₁＜2，且f（x）=x的两实根相差为2，求实数b的取值范围．

Answer

（Ⅰ）有x1＜2＜x2＜4转化为g（x）=f（x）-x=0有两根：一根在2与4之间，另一根在2的左边，利用一元二次方程根的分布可证．
（Ⅱ）先有a＞0，知两根同号，在分两根均为正和两根均为负两种情况来讨论．再利用两根之和与两根之积和|x2-x1|=2来求b的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）设g（x）=f（x）-x=ax2+（b-1）x+1，
∵a＞0，
∴由条件x1＜2＜x2＜4，
得g（2）＜0，g（4）＞0．即
由可行域可得，∴．
（Ⅱ）由题设令g（x）=f（x）-x=ax2+（b-1）x+1=0，知，故x1与x2同号．
①若0＜x1＜2，则x2-x1=2（负根舍去），
∴x2=x1+2＞2．
∴，即①×4-②得4b-1＜0，∴b＜
②若-2＜x1＜0，则x2=-2+x1＜-2（正根舍去），，即（1）×4-（2）得-4b+7＜0，
∴b＞
综上，b的取值范围为或．