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如图所示,空间直角坐标系中,直三棱柱ABC-A′B′C′,AB=BC=2,BB′...

如图所示,空间直角坐标系中,直三棱柱ABC-A′B′C′,AB=BC=2,BB′=2,N、M分别是A′C′、B′C′的中点.
(1)试画出该直三棱柱ABC-A′B′C′的侧视图.并标注出相应线段长度值;
(2)求证:直线AN与BM相交,并求二面角M-AN-C的余弦值.

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(1)要画直三棱柱的侧视图,我们可以直观图可得,B为直角,侧面是一个边长为2的正方形. (2)要证明AN和BM相交,我们可以结合公理3,证明三线共点,要求二面角M-AN-C的余弦值,我们可以A为坐标原点,AB,AC,AA',为坐标轴建立空间坐标系,利用空间向量求解. 【解析】 (1)直三棱柱ABC-A′B′C′的侧视图如下图示: (2)证明:如下图所示: ∵由MN∥A'B',MN=A'B', ∴MN∥AB,MN=AB, 则四边形AMNB为梯形. 令AM∩BN=P, 则P∈AM,而AM⊂平面ACC'A',P∈BN,BN⊂平面ACC'A', 平面ACC'A'∩平面ACC'A'=CC',∴P∈CC'. ∴直线AN与BM相交. 以A为坐标原点,AB,AC,AA',为坐标轴建立空间坐标系, 则易得:平面MAN的一个法向量为, 平面CAN的一个法向量为, 故二面角M-AN-C的余弦值.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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