Question

已知函数f（x）=aInx-ax，（a∈R）．
（1）求f（x）的单调递增区间；（文科可参考公式：）
（2）若a=-1，求证；f（x）≥f（1），且．

Answer

（1）要求f（x）的单调递增区间，先求出f′（x），大于0得到增区间；小于零得到减区间即可．
（2）因为a=1时f（x）在（1，+∞）递增，f（x）≥f（1）即：Inx≤x-1在（1，+∞）上恒成立，所以Inn≤n-1在n≥2，n∈N*恒成立；在n≥2，n∈N*恒成立，则ln2＜1，ln3＜2，ln4＜3，…，ln2010＜2009，利用不等式的证明方法，约分可得证．
【解析】
（1）依题意得：f′（x）=a＞0，单调递增区间（0，1）；
a＜0，单调递增区间（1，+∞）；a=0，无增区间．
（2）若a=-1，由（1）得f（x）在（1，+∞）递增，f（x）≥f（1）
即：Inx≤x-1在（1，+∞）上恒成立，
所以Inn≤n-1在n≥2，n∈N*恒成立
在n≥2，n∈N*恒成立
故