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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=BC=2AC=...

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=BC=2AC=2,D为AA1中点.
(Ⅰ)求证:CD⊥B1C1
(Ⅱ)求证:平面B1CD⊥平面B1C1D;
(Ⅲ)求三棱锥C1-B1CD的体积.

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(Ⅰ)关键是证明B1C1⊥平面ACC1A1,利用直三棱柱的性质及底面是直角三角形易证之. (Ⅱ)用勾股定理证明CD⊥DC1,又由(Ⅰ)知B1C1⊥CD,所以有CD⊥平面B1C1D,从而证明面面垂直. (Ⅲ)等体积法,VC1-DCB1=VB1-DCC1   ,进行求解. 证明:(Ⅰ)∵∠A1C1B1=∠ACB=90° ∴B1C1⊥A1C1 又由直三棱柱性质知B1C1⊥CC1(2分) ∴B1C1⊥平面ACC1A1又CD⊂平面ACC1A1 ∴B1C1⊥CD(4分) (Ⅱ)由AA1=BC=2AC=2,D为AA1中点, 可知, ∴DC2+DC12=CC12=4即CD⊥DC1(6分) 又B1C1⊥CD∴CD⊥平面B1C1D 又CD⊂平面B1CD 故平面B1CD⊥平面B1C1D(9分) (Ⅲ)【解析】 VC1-DCB1=VB1-DCC1 = = =.(12分)
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考点分析:
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试题属性
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