Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D，若PE=PA，∠ABC=60°，PD=1，BD=8，求BC的长．

Answer

由PD=1，BD=8我们不难求出割线PB被圆截得的两条线段的长，根据切割线定理，我们进而可以求出切线PA的长度，由PE=PA及弦切角定理，我们可以得到△AEP为等边三角形，结合余弦定理，可以求出AD的长，根据相似三角性质，即可求出BC的长．
【解析】
∵PB=PD+BD=1+8=9，
由切割线定理得：
PA2=PD•BD=9，
∴PA=3，
由弦切角定理得：∠PAC=∠ABC=60°，又由PA=PE
∴△PAE为等边三角形，则AE=PA=3，
连接AD，在△ADE中，ED=PE-PD=2
由余弦定理易得：
又△AED～△BEC，相似比=ED：BE=1：2
∴