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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD...

manfen5.com 满分网如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明PA∥平面EDB;
(2)证明PB⊥平面EFD;
(3)求二面角C-PB-D的大小.
法一:(1)连接AC,AC交BD于O,连接EO要证明PA∥平面EDB,只需证明直线PA平行平面EDB内的直线EO; (2)要证明PB⊥平面EFD,只需证明PB垂直平面EFD内的两条相交直线DE、EF,即可; (3)必须说明∠EFD是二面角C-PB-D的平面角,然后求二面角C-PB-D的大小. 法二:如图所示建立空间直角坐标系,D为坐标原点,设DC=a. (1)连接AC,AC交BD于G,连接EG,求出,即可证明PA∥平面EDB; (2)证明EF⊥PB,,即可证明PB⊥平面EFD; (3)求出,利用,求二面角C-PB-D的大小. 【解析】 方法一: (1)证明:连接AC,AC交BD于O,连接EO. ∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点 在△PAC中,EO是中位线,∴PA∥EO 而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB, 所以,PA∥平面EDB (2)证明: ∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD,∴PD⊥DC ∵PD=DC,可知△PDC是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线, ∴DE⊥PC.① 同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC. ∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC. 而DE⊂平面PDC,∴BC⊥DE.② 由①和②推得DE⊥平面PBC. 而PB⊂平面PBC,∴DE⊥PB 又EF⊥PB且DE∩EF=E,所以PB⊥平面EFD. (3)【解析】 由(2)知,PB⊥DF,故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角. 由(2)知,DE⊥EF,PD⊥DB. 设正方形ABCD的边长为a, 则,. 在Rt△PDB中,. 在Rt△EFD中,,∴. 所以,二面角C-PB-D的大小为. 方法二:如图所示建立空间直角坐标系,D为坐标原点,设DC=a. (1)证明:连接AC,AC交BD于G,连接EG. 依题意得. ∵底面ABCD是正方形,∴G是此正方形的中心,故点G的坐标为且. ∴,这表明PA∥EG. 而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB,∴PA∥平面EDB. (2)证明;依题意得B(a,a,0),. 又,故. ∴PB⊥DE. 由已知EF⊥PB,且EF∩DE=E,所以PB⊥平面EFD. (3)【解析】 设点F的坐标为(x,y,z),,则(x,y,z-a)=λ(a,a,-a). 从而x=λa,y=λa,z=(1-λ)a.所以. 由条件EF⊥PB知,,即,解得 ∴点F的坐标为,且, ∴ 即PB⊥FD,故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角. ∵,且,, ∴. ∴. 所以,二面角C-PB-D的大小为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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