Question

已知函数f（x）=x（1-x）²．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）求实数a，b的值，使在区间[a，b]上的值域也为[a，b]；．
（3）是否存在区间[a，0]，使f（x）在区间[a，0]上的值域为[ka，0]，且使k的值最小？若存在，求出k的最小值及此时a的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）对于三次函数：“f（x）=x（1-x）2．的极值问题利用其导数解决；
（2）三次函数的值域问题，往往转化为导数的问题，须针对最大值b与最小值a的取值情况进行讨论；
（3）对于存在性问题，先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，若不出现矛盾，则肯定存在；若出现矛盾，则否定存在．
【解析】
（1）f（x）=x3+2x2+x，则f'（x）=3x2+4x+1（1分）
令f'（x）=0解得：，（2分）

∴f（x）的极大值为f（-1）=0，极小值为（4分）
（2）若最大值b与最小值a均在端点处取得，则有或（5分）
①当时，则a，b即为方程f（x）=x的解，解得x1=0，x2=-2．
当-2≤x≤0时，-2≤f（x）≤0，检验知符合题意（6分）
②当时，则有
相减得：（a-b）[a2+（b+2）a+（b2+2b+2）]=0．
又a≠b，而方程a2+（b+2）a+（b2+2b+2）=0中，方程无解，故此时a，b不存在．
（8分）
若最大值b在区间（a，b）内取得，则b必为f（x）的极大值0，但b=0时f（b）=b，矛盾．
若最小值a在区间（a，b）内取得，则a必为f（x）的极小值，但f（x）在区间上单调递增，必有f（a）=a，矛盾．
综上得：a=-2，b=0（10分）
（3）易知k＞0，．
若f（a）=ka，则a（1+a）2=ka即k=（1+a）2，而此时．
当时，，此时k有最小值为．
当时，，此时k有最小值（12分）
若最小值ka在区间（a，0）内取得，则ka必为f（x）的极小值，即，而此时，∴．
综上得：k的最小值为，此时（14分）