Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁=1，AC=．
（1）求直线B₁C与平面ABB₁A₁所成角的大小；
（2）求二面角A-B₁C-B的大小．

Answer

（1）由直三棱柱性质可得，∠CB1A为直线B1C与平面ABB1A1所成的角，解直角三角形可求此角的大小．
（2）过A做AM⊥BC，垂足为M，过M做MN⊥B1C，垂足为N，由三垂线定理可证∠ANM为二面角A-B1C-B的平面角，解直角三角形可求此角的大小．
【解析】
（1）由直三棱柱性质，B1B⊥平面ABC，
∴B1B⊥AC，
又BA⊥AC，
∴AC⊥平面ABB1A1，
∴∠CB1A为直线B1C与平面ABB1A1所成的角．
由AB=BB1=1，可得AB1=．
又AC=，∴tanCB1A==1．
∴直线B1C与平面ABB1A1所成角的大小为45°．（7分）
（2）过A做AM⊥BC，垂足为M，
过M做MN⊥B1C，垂足为N，连接AN，
由AM⊥BC，可得AM⊥平面BCC1B1，
由三垂线定理，可知AN⊥B1C，
∴∠ANM为二面角A-B1C-B的平面角，
又AM==，AN==1
∴
∴二面角A-B1C-B的大小为arcsin=（14分）