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如图,ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,则棱长为3,底面边长为2,E是棱BC...

如图,ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,则棱长为3,底面边长为2,E是棱BC的中点.
(I)求异面直线AA1和BD1所成角的大小;
(II)求证:BD1∥平面C1DE;
(III)求二面角C1-DE-C的大小.

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(I)∠B1BD1是异面直线AA1和BD1所成的角,解直角三角形,求出此角的大小. (II)连接CD1,与C1D相交于O,连接EO,由三角形中位线的性质得 EO∥BD1,由线线平行证明线面平行. (III)根据三垂线定理找出二面角的平面角,并证明之,把此角放在直角三角形C1CH中,利用直角三角形中的边角关系, 求出此角的大小. (本小题满分14分) 【解析】 (I)【解析】 连接B1D1. ∵在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥BB1, ∴∠B1BD1是异面直线AA1和BD1所成的角.(2分) 即在侧棱BB1上不存在点P,使得CP⊥平面C1DE.(14分) 在,∴, 即异面直线AA1和BD1所成角的大小为(4分) (II)证明: 连接CD1,与C1D相交于O,连接EO. ∵CDD1C1是矩形, ∴O是CD1的中点, 又E是BC的中点, ∴EO∥BD1.(2分) 又BD1⊄平面C1DE,EO⊂平面C1DE, ∴BD1∥平面C1DE.(4分) (III)【解析】 过点C作CH⊥DE于H,连接C1H. 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,CC1⊥平面ABCD, ∴C1H⊥DE, ∠C1HC是二面角C1-DE-C的平面角.(11分) 在△CDE中,CD=2,CE=1,∴ 在△C1CH中,CC1=3,∴,(13分) ∴二面角C1-DE-C的大小为(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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