Question

用数学归纳法证明++…+[（2n-1）（2n）²-2n（2n+1）²]=-n（n+1）（4n+3）．

Answer

用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步，验证当n=n时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．关键是第二步中要充分用上归纳假设的结论，否则会导致错误．
证明：当n=1时，左边=-14，右边=-1•2•7=-14，等式成立
假设当n=k时等式成立，
即有（1•22-2•32）+（3•42-4•52）++[（2k-1）（2k）2-2k（2k+1）2]
=-k（k+1）（4k+3）
那么当n=k+1时，
（1•22-2•32）+（3•42-4•52）++[（2k-1）（2k）2-2k（2k+1）2]
+[（2k+1）（2k+2）2-（2k+2）（2k+3）2]
=-k（k+1）（4k+3）-2（k+1）[4k2+12k+9-4k2-6k-2]
=-（k+1）[4k2+3k+2（6k+7）]=-（k+1）[4k2+15k+14]
=-（k+1）（k+2）（4k+7）=-（k+1）[（k+1）+1][4（k+1）+3]．
这就是说，当n=k+1时等式也成立．
根据以上论证可知等式对任何n∈N都成立．