Question

已知数列{a_n}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，S_n是其前n项的和，a₁，2a₇，3a₄成等差数列．
（I）证明12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比数列；
（II）求和T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na_3n-2．

Answer

（1）由a1，2a7，3a4成等差数列，我们得到一个关于数列基本量（首项和公比）的方程，由于首项为a，则易求出公式，然后根据等比数列的定义判断即可．
（2）由于Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n-2中累加的每一项都是由两部分的积组成，这两部分一部分是等差数列，一部分是等比数列，故可用错位相消法解答．
（Ⅰ）证明：由a1，2a7，3a4成等差数列，得4a7=a1+3a4，
即4aq6=a+3aq3．
变形得（4q3+1）（q3-1）=0，
又∵公比q不等于1，所以4q3+1=0
由．．
得．
所以12S3，S6，S12-S6成等比数列．
（Ⅱ）【解析】
Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n-2=a+2aq3+3aq6+…+naq3（n-1）．
即．①
①×得：…②．
①-②得=．
所以．