Question

如图，直线l₁：y=kx（k＞0）与直线l₂：y=-kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W₁，右半部分记为W₂．
（Ⅰ）分别用不等式组表示W₁和W₂．
（Ⅱ）若区域W中的动点P（x，y）到l₁，l₂的距离之积等于d²，求点P的轨迹C的方程；
（Ⅲ）设不过原点O的直线l与（Ⅱ）中的曲线C相交于M₁，M₂两点，且与l₁，l₂分别交于M₃，M₄两点．求证△OM₁M₂的重心与△OM₃M₄的重心重合．

Answer

（I）根据图象可知W1是直线y=kx和y=-kx左半部分之间的点的集合，W2是y=kx和y=-kx左半部分之间的点的集合进而可得答案．
（II）利用点到直线的距离根据动点P（x，y）到l1，l2的距离之积等于d2，建立等式，求得x和y的关系式，即点P的轨迹方程．
（Ⅲ）先看当直线l与x轴垂直时设直线l的方程为x=a，进而求得M1M2，M3M4的中点坐标，判断出△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为（a，0），再看直线l1与x轴不垂直时，设出直线l的方程与P的轨迹方程联立，消去y，判别式大于0，设M1，M2的坐标，表示出x1+x2和y1+y2，设M3，M4的坐标把直线y=kx和y=mx+n表示出x3和x4，求得x3+x4==x1+x2，进而求得y3+y4=y1+y2，推断出△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合．
【解析】
（I）根据图象可知阴影区域左半部分，在y=-kx的下方，在y=kx的上边，
故y的范围可知kx＜y＜-kx，且x＜0，
阴影区域右半部分，在y=kx的下边，y=-kx的上方，x＞0
∴W1={（x，y）|kx＜y＜-kx，x＜0}，W2={（x，y）|-kx＜y＜kx，x＞0}，
（II）直线l1：kx-y=0，直线l2：kx+y=0，由题意得•=d2，即=d2，
由P（x，y）∈W，知k2x2-y2＞0，
所以=d2，即k2x2-y2-（k2+1）d2=0，
所以动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2-（k2+1）d2=0；
（Ⅲ）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x=a（a≠0）．
由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，
于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），
所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为（a，0），即它们的重心重合，
当直线l1与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠0）．
由，得（k2-m2）x2-2mnx-n2-k2d2-d2=0
由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k2-m2≠0且
△=（2mn）2+4（k2-m2）×（n2+k2d2+d2）＞0
设M1，M2的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则，y1+y2=m（x1+x2）+2n，
设M3，M4的坐标分别为（x3，y3），（x4，y4），
由得x3=，x4=
从而x3+x4==x1+x2，
所以y3+y4=m（x3+x4）+2n=m（x1+x2）+2n=y1+y2，
于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合．