Question

已知函数在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值，且0＜x₁＜1＜x₂＜2．
（1）证明a＞0；（2）若z=a+2b，求z的取值范围．

Answer

（1）求出f（x）的导函数，因为函数在x=x1和x=x2取得极值得到：x1，x2是导函数等于0的两个根．表示出导函数，因为x＜x1函数为增函数，得到导函数大于0，根据不等式取解集的方法即可得到a的范围；
（2）由0＜x1＜1＜x2＜2得到导函数在x=0、2时大于0，导函数在x=1时小于0，得到如图所示的三角形ABC，求出三个顶点的坐标即可得到相应的z值，得到z的取值范围即可．
【解析】
求出函数f（x）的导函数f'（x）=ax2-2bx+2-b．
（1）由函数f（x）在x=x1处取得极大值，
在x=x2处取得极小值，知x1，x2是f'（x）=0的两个根．
所以f'（x）=a（x-x1）（x-x2）
当x＜x1时，f（x）为增函数，f'（x）＞0，
由x-x1＜0，x-x2＜0，得a＞0．
（2）在题设下，0＜x1＜1＜x2＜2等价于，
即，
化简得．
此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：2-b=0，a-3b+2=0，4a-5b+2=0．
所围成的△ABC的内部，其三个顶点分别为：．
z在这三点的值依次为．
所以z的取值范围为．