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已知f(x)=ax3+bx2+cx在区间[0,1]上是增函数,在区间(-∞,0),(1,+∞)上是减函数,又manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若在区间[0,m](m>0)上恒有f(x)≤x成立,求m的取值范围.
(Ⅰ)由“f(x)在区间[0,1]上是增函数,在区间(-∞,0),(1,+∞)上是减函数”,则有f'(0)=f'(1)=0,再由 .求解. (Ⅱ)首先将“f(x)≤x,x∈[0,m]成立”转化为“x(2x-1)(x-1)≥0,x∈[0,m]成立”求解. 【解析】 (Ⅰ)f'(x)=3ax2+2bx+c,由已知f'(0)=f'(1)=0, 即 解得 ∴f'(x)=3ax2-3ax, ∴, ∴a=-2, ∴f(x)=-2x3+3x2. (Ⅱ)令f(x)≤x,即-2x3+3x2-x≤0, ∴x(2x-1)(x-1)≥0, ∴或x≥1. 又f(x)≤x在区间[0,m]上恒成立, ∴.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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