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在直角坐标平面内,定点F(-1,0)、F′(1,0),动点M,满足条件. (Ⅰ)...

在直角坐标平面内,定点F(-1,0)、F′(1,0),动点M,满足条件manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求动点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过点F的直线交曲线C交于A,B两点,求以AB为直径的圆的方程,并判定这个圆与直线x=-2的位置关系.
(Ⅰ)由题中条件:“”易知M的轨迹是椭圆,结合椭圆的概念即可求得其方程; (Ⅱ)分两种情形讨论:①当斜率存在时,设l:y=k(x+1),将直线的方程代入椭圆的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根与系数的关系利用以AB为直径的圆的方程得到圆心到直线x=-2的距离d>R,所以圆于直线相离;当斜率不存在时,易得半径为的圆与直线x=-2也相离,从而问题解决. 【解析】 (Ⅰ)易知M的轨迹是椭圆,,方程为.(3分) (Ⅱ)①当斜率存在时,设l:y=k(x+1),由,消去y整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0;(5分) 设A(x1,y1),B(x2,y2),则有①(6分) 以AB为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0, 即x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y+x1x2+y1y2=0;②(7分) 由①得y1+y2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(x1+x2)+2k=,③;④(8分) 将①③④代入②化简得, 即.(10分) 对任意的k∈R,圆心到直线x=-2的距离是,,即d>R,所以圆于直线相离.(12分) 当斜率不存在时,易得半径为,圆的方程是,与直线x=-2也相离.(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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