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给定实数a(),设函数f(x)=2x+(1-2a)ln(x+a)(x>-a,x∈...

给定实数a(manfen5.com 满分网),设函数f(x)=2x+(1-2a)ln(x+a)(x>-a,x∈R),f(x)的导数f′(x)的图象为C1,C1关于直线y=x对称的图象记为C2
(Ⅰ)求函数y=f′(x)的单调区间;
(Ⅱ)对于所有整数a(a≠-2),C1与C2是否存在纵坐标和横坐标都是整数的公共点?若存在,请求出公共点的坐标;若不若存在,请说明理由.
(1)首先求出函数的导数,然后再求出导数函数的导数,即函数的二阶导数,并由此判断函数导数的单调区间; (2)利用根的存在性定理进行计算. 【解析】 (Ⅰ)设g(x)=f′(x)=, 则g′(x)=, 当a≥时,函数y=f′(x)在区间(-∞,-a]、(-a,∞)上单调递增, 当a<时,函数y=f′(x)在区间(-∞,-a]、(-a,∞)上单调递减, ∴函数y=f′(x)的单调区间是(-∞,-a]、(-a,∞). (Ⅱ)易知C2对应的函数为, 由=, 化简可得(a+2)[x2+(a-2)x-1]=0, ∵a≠-2, ∴依题意知x2+(a-2)x-1=0的两根均为整数, 由x2+(a-2)x-1=0, 有, 又, ∴x=±1 ∴a=2, ∴纵坐标和横坐标都是整数的公共点是(1,1)与(-1,-1).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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