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如图,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,点E在棱D1D上,截面EAC∥D1...

manfen5.com 满分网如图,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,点E在棱D1D上,截面EAC∥D1B,且面EAC与底面ABCD所成的角为45°,AB=a.
(1)求截面EAC的面积;
(2)求异面直线A1B1与AC之间的距离;
(3)求三棱锥B1-BAC的体积.
(1)如图,利用∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角,结合直角三角形中的边角关系即可求得截面EAC的面积; (2)先证明A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线,再利用直角三角形中勾股定理即可求得线段A1A的长度; (3)欲求三棱锥B1-BAC的体积,考虑到则先求三棱锥A-EOB1的体积即可. (1)【解析】 连接BD交AC于O,连接EO ∵底面ABCD是正方形,∴DO⊥AC 又∵ED⊥底面AC,∴EO⊥AC ∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角.∴∠EOD=45°.. 故. (2)【解析】 由题设ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,得A1A⊥底面AC,A1A⊥AC, 又A1A⊥A1B1, ∴A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线.∵D1B1∥面EAC,且面D1BD与面EAC交线为EO, ∴D1B1∥EO 又O是DE的中点,∴E是D1D的中点,D1B1=2EO=2a ∴D1D=.异面直线A1B1与AC间的距离为. (3)【解析】 连接B1O,则 ∵AO⊥面BDD1B1, ∴AO是三棱锥A-EOB1的高,AO=. 在正方形BDD1B1中,E、O分别是D1D、DB的中点(如右图),则. ∴.所以三棱锥B1-EAC的体积是.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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