Question

四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AD=，AB∥CD，∠ADC=90°．
（1）在侧棱PC上是否存在一点Q，使BQ∥平面PAD？证明你的结论；
（2）求证：平面PBC⊥平面PCD；
（3）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．

Answer

（1）当Q为侧棱PC中点时，有BQ∥平面PAD．取PD的中点E，连AE、EQ．只需证明平面PAD外的直线BQ平行于平面PAD内的直线AE，即可．
（2）要证平面PBC⊥平面PCD，只需证明AE垂直平面PAD内的两条相交直线CD、PD，BQ∥AE，BQ⊂平面PBC即可；
（3）法一，说明∠DPC就是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角，然后求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．
法二：建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量，平面PAD的法向量，利用向量的数量积求出平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．
（1）【解析】
当Q为侧棱PC中点时，有BQ∥平面PAD．
证明如下：如图，取PD的中点E，连AE、EQ．
∵Q为PC中点，则EQ为△PCD的中位线，
∴EQ∥CD且．
∵AB∥CD且，∴EQ∥AB且EQ=AB，
∴四边形ABQE为平行四边形，则BQ∥AE．
∵BQ⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，
∴BQ∥平面PAD．

（2）证：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE．
∵PA=AD，E为PD中点，∴AE⊥PD．
∵CD∩PD=D，∴AE⊥平面PCD．
∵BQ∥AE，∴BQ⊥平面PCD．
∵BQ⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD．（9分）

（3）解法一：设平面PAD∩平面PBC=l．
∵BQ∥平面PAD，BQ⊂平面PBC，∴BQ∥l．
∵BQ⊥平面PCD，∴l⊥平面PCD，∴l⊥PD，l⊥PC．
故∠DPC就是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角．（12分）
∵CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．
设，则，
，故．
∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．（14分）

解法二：如图建立直角坐标系，设PA=AB=AD=1，CD=2，
则A（0，0，0），B（0，1，0），C（-1，2，0），P（0，0，1），
则，．
设平面PBC的法向量为，则
由，取．（11分）
由CD⊥平面PAD，AB∥CD，知AB⊥平面PAD，
∴平面PAD的法向量为．（12分）
设所求锐二面角的大小为θ，则．
∴所求锐二面角的余弦值为．（14分）