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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=manfen5.com 满分网AD,若E、F分别为PC、BD的中点.
(Ⅰ) 求证:EF∥平面PAD;
(Ⅱ) 求证:EF⊥平面PDC.

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对于(Ⅰ),要证EF∥平面PAD,只需证明EF平行于平面PAD内的一条直线即可,而E、F分别为PC、BD的中点,所以连接AC,EF为中位线,从而得证; 对于(Ⅱ)要证明EF⊥平面PDC,由第一问的结论,EF∥PA,只需证PA⊥平面PDC即可,已知PA=PD=AD,可得PA⊥PD,只需再证明PA⊥CD,而这需要再证明CD⊥平面PAD, 由于ABCD是正方形,面PAD⊥底面ABCD,由面面垂直的性质可以证明,从而得证. 证明:(Ⅰ)连接AC,则F是AC的中点,在△CPA中,EF∥PA(3分) 且PA⊂平面PAD,EF⊊平面PAD, ∴EF∥平面PAD(6分) (Ⅱ)因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, 又CD⊥AD,所以CD⊥平面PAD, ∴CD⊥PA(9分) 又PA=PD=AD, 所以△PAD是等腰直角三角形,且∠APD=,即PA⊥PD(12分) 而CD∩PD=D, ∴PA⊥平面PDC,又EF∥PA,所以EF⊥平面PDC(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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