Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．
（1）求AC与PB所成的角余弦值；
（2）求二面角A-MC-B的余弦值．

Answer

由“PA⊥底面ABCD，且∠DAB=90°”可知，此题建立空间直角坐标系相当方便．以A为坐标原点，AD长为单位长度，分别以AD、AB、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，求出各点坐标计算各题．
（1）利用余弦定理可知：．所以，AC与PB所成的角余弦值为．
（2）在MC上取一点N（x，y，z），要使AN⊥MC，只需，所以N点坐标为，∠ANB为所求二面角A-MC-B的平面角，则，所以所求二面角的余弦值为．
另【解析】
可以计算两个平面的法向量分别为：平面AMC的法向量，平面BMC的法向量为，=，所求二面角A-MC-B的余弦值为-．
证明：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为．
（1）【解析】
因，
故，
所以．
所以，AC与PB所成的角余弦值为．

（2）【解析】
在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，，∴．
要使AN⊥MC，只需即，解得．
可知当时，N点坐标为，能使．
此时，，有，
由得AN⊥MC，BN⊥MC．所以∠ANB为
所求二面角A-MC-B的平面角．∵．
∴．故所求的二面角的余弦值为．