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设函数f(x)=x2+bln(x+1), (1)若对定义域的任意x,都有f(x)...

设函数f(x)=x2+bln(x+1),
(1)若对定义域的任意x,都有f(x)≥f(1)成立,求实数b的值;
(2)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数b的取值范围.
(1)根据对定义域的任意x,都有f(x)≥f(1)成立知函数f(x)在定义域内的最小值为f(1),从而得到f′(1)=0即可 (2)要求函数f(x)在定义域上是单调函数,即要求f′(x)≥0或f′(x)≤0在(-1,+∞)上恒成立,然后分类讨论:当f′(x)≥0时,即2x2+2x+b≥0在(-1,+∞)上恒成立,即b≥-2x2-2x=恒成立;当f′(x)≤0时,2x2+2x+b≤0,即b≤-(2x2+2x)恒成立,因-(2x2+2x)在(-1,+∞)上没有最小值,故不符合题意 【解析】 (1)由x+1>0得x>-1 ∴f(x)的定义域为(-1,+∞), 对x∈(-1,+∞),都有f(x)≥f(1), ∴f(1)是函数f(x)的最小值,故有f′(1)=0, ,∴, 解得b=-4. (2)∵, 又函数f(x)在定义域上是单调函数, ∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(-1,+∞)上恒成立. 若f′(x)≥0, ∵x+1>0, ∴2x2+2x+b≥0在(-1,+∞)上恒成立, 即b≥-2x2-2x=恒成立,由此得b≥; 若f′(x)≤0, ∵x+1>0, ∴2x2+2x+b≤0,即b≤-(2x2+2x)恒成立, 因-(2x2+2x)在(-1,+∞)上没有最小值, ∴不存在实数b使f(x)≤0恒成立. 综上所述,实数b的取值范围是. 故答案为:(1)b=-4;(2)实数b的取值范围是.
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考点分析:
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