Question

一个空间几何体G-ABCD的三视图如图所示，其中A_i，B_i，C_i，D_i，G_i（i=1，2，3）分别是A，B，C，D，G在直立、侧立、水平三个投影面内的投影．在视图中，四边形A₁B₂C₃D₄为正方形，且A₁B₂=2a；在侧视图中，A₂D₂⊥A₂G₂；在俯视图中，G₃D₃=G₃C₃=
（Ⅰ）根据三视图画出几何体的直观图，并标明A，B，C，D，G五点的位置；
（Ⅱ）证明：平面AGD⊥平面BGC；
（Ⅲ）求三棱锥D-ACG的体积．

Answer

（1）由三视图我们可以判断这个几何体是四棱锥，又由四边形A1B2C3D4为正方形，且A1B2=2a；在侧视图中，A2D2⊥A2G2；在俯视图中，G3D3=G3C3=．我们易画出几何体的直观图．
（2）由（1）的直观图我们易判断AG⊥平面BCG，根据面面垂直的判断定理，我们易得到平面AGD⊥平面BGC；
（3）利用转化思想，三棱锥D-ACG的体积可转化为三棱锥G-ACD的体积，根据（1）中分析出的棱长关系，我们易代入求出三棱锥D-ACG的体积．
【解析】
（Ⅰ）空间几何体的直观图如图所示，
且可得到平面ABCD⊥平面ABG，四边形
ABCD为正方形，AG=BG=，
故AG⊥BG（4分）
（Ⅱ）∵平面ABCD⊥平面ABG，
面ABCD∩平面ABG=AB，CB⊥AB，
∴CB⊥平面ABG，故CB⊥AG（6分）
又AG⊥BG，∴AG⊥平面BGC．
∴平面AGD⊥平面BGC（8分）
（Ⅲ）过G作GE⊥AB，垂足为E，
则GE⊥平面ABCD．（12分）