Question

如图，在半径为R、圆心角为的扇形金属材料中剪出一个长方形EPQF，并且EP与∠AOB的平分线OC平行，设∠POC=θ．
（1）试写出用θ表示长方形EPQF的面积S（θ）的函数．
（2）现用EP和FQ作为母线并焊接起来，将长方形EFPQ制成圆柱的侧面，能否从△OEF中直接剪出一个圆面作为圆柱形容器的底面？如果不能请说明理由．如果可能，求出侧面积最大时容器的体积．

Answer

（1）求长方形EPQF的面积，在Rt△OPC中，OP=R，∠POC=θ；易得PC，OC；从而求得EF，EP；
（2）制成圆柱的底面周长为EF，半径可求，△OEF的内切圆半径可求，两半径比较得出结论．
由长方形EPQF制成圆柱的侧面面积为 S（θ），由三角函数的运算与性质，可以求出最大值，此时；
当时，求出圆柱体的体积即可．
【解析】
如图，（1）在长方形EPQF中，EF=PQ=2PC=2Rsinθ，
EP=Rcosθ-EF•sin60°=Rcosθ-2Rsinθ•=Rcosθ-；
所以长方形EPQF的面积为：S（θ）=EF•EP=2Rsinθ（Rcosθ-）．
（2）依题意制成圆柱的底面周长l=EF=2Rsinθ，则其半径为r底=，
在△OEF中，EF=OE=OF=2Rsinθ，
故内切圆半径r内=，而，即r内＞r底；
所以能从△OEF中直接剪出一个圆面作为圆柱形容器的底面．
由长方形EPQF制成圆柱的侧面，面积为；
  S（θ）=2R2sinθcosθ-2R2sin2θ
=R2•sin2θ-•R2•（1-cos2θ）
=R2•（sin2θ+cos2θ）-
=R2•2sin-，；
当，即时，侧面积S（θ）取得最大值，
此时圆柱的体积为：V=S底•h=
=sinθ2•=••
=••=••=．