Question

已知函数f（x）满足下列条件：（1）函数f（x）定义域为[0，1]；（2）对于任意x∈[0，1]，f（x）≥0，且f（0）=0，f（1）=1；（3）对于满足条件x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1的任意两个数x₁，x₂，有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．
（Ⅰ）证明：对于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y）；
（Ⅱ）证明：对于任意的0≤x≤1，有f（x）≤2x；
（Ⅲ）不等式f（x）≤1.9x对于一切x∈[0，1]都成立吗？

Answer

（I）欲证对于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y），将y写成y-x+x，利用f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）进行放缩即得．
（II）欲证明证明：对于任意的0≤x≤1，有f（x）≤2x，利用反证法，先假设存在x∈（0，1]，使得f（x）＞2x，通过推出矛盾，从而得出假设不成立而得证；
（III）先取函数验证此函数符合题目中的（1），（2），（3）两个条件，但是f（0.51）=1＞1.9×0.51=0.969．从而不等式f（x）≤1.9x并不对所有x∈[0，1]都成立．
【解析】
（Ⅰ）证明：对于任意的0≤x≤y≤1，
则0≤y-x≤1，∴f（y-x）≥0．
∴f（y）=f（y-x+x）≥f（y-x）+f（x）≥f（x）．
∴对于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y）．（5分）
（Ⅱ）由已知条件可得f（2x）≥f（x）+f（x）=2f（x），
∴当x=0时，f（0）=0≤2×0，
∴当x=0时，f（x）≤2x．
假设存在x∈（0，1]，使得f（x）＞2x，
则x一定在某个区间上．
设，
则f（2x）＞4x，f（4x）＞8x，┅，f（2k-1x）＞2kx．
由；
可知，且2kx＞1，
∴f（2k-1x）≤f（1）=1，
又f（2k-1x）＞2kx＞1．
从而得到矛盾，因此不存在x∈（0，1]，使得f（x）＞2x．
∴对于任意的0≤x≤1，有f（x）≤2x．（10分）
（Ⅲ）取函数
则f（x）显然满足题目中的（1），（2）两个条件．
任意取两个数x1，x2，使得x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，
若，
则f（x1+x2）≥0=f（x1）+f（x2）．
若x1，x2分别属于区间和中一个，
则f（x1+x2）=1=f（x1）+f（x2），
而x1，x2不可能都属于．
综上可知，f（x）满足题目中的三个条件．
而f（0.51）=1＞1.9×0.51=0.969．
即不等式f（x）≤1.9x并不对所有x∈[0，1]都成立．（14分）