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数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意n∈N*,总有an,Sn,...

数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意n∈N*,总有an,Sn,an2成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn,且manfen5.com 满分网,求证:对任意实数x∈(1,e](e是常数,e=2.71828…)和任意正整数n,总有Tn<2;
(3)正数数列{cn}中,an+1=(cnn+1(n∈N*),求数列{cn}中的最大项.
(1)根据an=Sn-Sn-1,整理得an-an-1=1进而可判断出数列{an}是公差为1的等差数列,根据等差数列的通项公式求得答案. (2)把(1)中求得的an代入求得的bn通项公式,利用裂项法可证明原式. (3)由的an代通项公式可分别求得c1,c2,c3,c4,猜想n≥2时,{cn}是递减数列令,进而进行求导,根据n≥3时,f′(x)<0,判断出在[3,+∞)内,f(x)为单调递减函数,n≥2时,{lncn}是递减数列,即{cn}是递减数列,同时c1<c2,进而可知数列的最大项为c2. 【解析】 (1)由已知,对于任意n∈N*,总有2Sn=an+an2①成立 所以2Sn-1=an-1+an-12② ①-②得,2an=an+an2-an-1-an-12, ∴an+an-1=(an+an-1)(an-an-1) ∵an,an-1均为正数, ∴an-an-1=1(n≥2) ∴数列{an}是公差为1的等差数列 又n=1时,2S1=a1+a12,解得a1=1∴an=n(n∈N*) (2)证明:∵对任意实数x∈(1,e](e是常数,e=2.71828)和任意正整数n, 总有, ∴= (3)由已知,, 易得c1<c2,c2>c3>c4> 猜想n≥2时,{cn}是递减数列 令 则, ∵当x≥3时,lnx>1,则1-lnx<0,f′(x)<0, ∴在[3,+∞)内,f(x)为单调递减函数, 由an+1=(cn)n+1(n∈N*),知 ∴n≥2时,{lncn}是递减数列,即{cn}是递减数列, 又c1<c2, ∴数列{cn}中的最大项为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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