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已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1.AB=1,AA1=2,点E为CC1中点,...

manfen5.com 满分网已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1.AB=1,AA1=2,点E为CC1中点,点F为BD1中点.
(1)证明EF为BD1与CC1的公垂线;
(2)求点D1到面BDE的距离.
(1)欲证明EF为BD1与CC1的公垂线,只须证明EF分别与为BD1与CC1垂直即可,可由四边形EFMC是矩形→EF⊥CC1.由EF⊥面DBD1→EF⊥BD1. (2)欲求点D1到面BDE的距离,将距离看成是三棱锥的高,利用等体积法:VE-DBD1=VD1-DBE.求解即得. 【解析】 (1)取BD中点M. 连接MC,FM. ∵F为BD1中点, ∴FM∥D1D且FM=D1D. 又ECCC1且EC⊥MC, ∴四边形EFMC是矩形 ∴EF⊥CC1.又CM⊥面DBD1. ∴EF⊥面DBD1. ∵BD1⊂面DBD1.∴EF⊥BD1. 故EF为BD1与CC1的公垂线. (Ⅱ)【解析】 连接ED1,有VE-DBD1=VD1-DBE. 由(Ⅰ)知EF⊥面DBD1, 设点D1到面BDE的距离为d. 则. ∵AA1=2,AB=1. ∴,, ∴. ∴ 故点D1到平面DBE的距离为.
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考点分析:
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③若AB⊥AC,BD⊥CD,则BC⊥AD;
④若AB⊥CD,BD⊥AC,则BC⊥AD.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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