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已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0,0≤ϕ≤π)是R上的偶函数,其图象...

已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0,0≤ϕ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点manfen5.com 满分网对称,且在区间manfen5.com 满分网上是单调函数,求ϕ和ω的值.
由f(x)是偶函数可得ϕ的值,图象关于点对称可得函数关系,可得ω的可能取值,结合单调函数可确定ω的值. 【解析】 由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x), 即sin(-ωx+∅)=sin(ωx+∅), 所以-cos∅sinωx=cos∅sinωx, 对任意x都成立,且w>0, 所以得cos∅=0. 依题设0<∅<π,所以解得∅=, 由f(x)的图象关于点M对称, 得, 取x=0,得f()=sin()=cos, ∴f()=sin()=cos, ∴cos=0,又w>0, 得=+kπ,k=1,2,3, ∴ω=(2k+1),k=0,1,2, 当k=0时,ω=,f(x)=sin()在[0,]上是减函数,满足题意; 当k=2时,ω=,f(x)=(x+)在[0,]上不是单调函数; 所以,综合得ω=或2.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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