登录
|
注册
返回首页
联系我们
在线留言
满分5
>
高中数学试题
>
设an为常数,且an=3n-1-2an-1(n∈N*). (1)证明对任意n≥1...
设a
n
为常数,且a
n
=3
n-1
-2a
n-1
(n∈N
*
).
(1)证明对任意n≥1,有
;
(2)假设对任意n≥1有a
n
>a
n-1
,求a
的取值范围.
(1)选择利用数学归纳法为妥,需要注意的是有归纳假设ak到ak+1的变形,利用归纳假设,注意目标的形式就能得到结果;另外可以利用递推数列来求得通项公式,当然需要对递推数列的an+1=pan+f(n)这种形式的处理要合适;这种形式的一般处理方法是:两边同时除以pn+1或者是构造一个等比数列,构造法有一定的技巧,如本题可设an-a3n=-2(an-1-a3n-1), (2)由(1)的结论可作差an-an-1>0并代入运算,由于含有(-1)n的形式要注意对n=2k-1和n=2k进行讨论,只需取k=1,2时得到a的取值范围即可,另外一个思路是只需取n=1,2时得到a的范围,然后分n=2k-1和n=2k进行证明an-an-1>0.具体解法参见参考答案. 【解析】 (1)证法一: (i)当n=1时,由已知a1=1-2a,等式成立; (ii)假设当n=k(k≥1)等式成立, 则, 那么 =. 也就是说,当n=k+1时,等式也成立. 根据(i)和(ii),可知等式对任何n∈N,成立. 证法二:如果设an-a3n=-2(an-1-a3n-1), 用an=3n-1-2an-1代入,可解出. 所以是公比为-2, 首项为的等比数列. ∴. 即. (2)解法一:由an通项公式. ∴an>an-1(n∈N)等价于.① (i)当n=2k-1,k=1,2,时, ①式即为 即为. ②式对k=1,2,都成立, 有. (ii)当n=2k,k=1,2时, ①式即为. 即为. ③式对k=1,2都成立,有. 综上,①式对任意n∈N*,成立,有. 故a的取值范围为. 解法二:如果an>an-1(n∈N*)成立, 特别取n=1,2有a1-a=1-3a>0.a2-a1=6a>0. 因此.下面证明当.时, 对任意n∈N*,an-an-1>0. 由an的通项公式5(an-an-1)=2×3n-1+(-1)n-13×2n-1+(-1)n5×3×2n-1a. (i)当n=2k-1,k=1,2时, 5(an-an-1)=2×3n-1+3×2n-1-5×3×2n-1a>2×2n-1+3×2n-1-5×3×2n-1=0 (ii)当n=2k,k=1,2时, 5(an-an-1)=2×3n-1-3×2n-1+5×3×2n-1a>2×3n-1-3×2n-1≥0. 故a的取值范围为.
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员,A队队员是A
1
,A
2
,A
3
,B队队员是B
1
,B
2
,B
3
,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间胜负概率如下:
对阵队员
A队队员胜的概率
A队队员负的概率
A
1
对B
1
A
2
对B
2
A
3
对B
3
现按表中对阵方式出场,每场胜队得1分,负队得0分,设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η.
(1)求ξ、η的概率分布;
(2)求Eξ,Eη.
查看答案
设a>0,求函数f(x)=
-ln(x+a)(x∈(0,+∞))的单调区间.
查看答案
已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0,0≤ϕ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点
对称,且在区间
上是单调函数,求ϕ和ω的值.
查看答案
已知正四棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
.AB=1,AA
1
=2,点E为CC
1
中点,点F为BD
1
中点.
(1)证明EF为BD
1
与CC
1
的公垂线;
(2)求点D
1
到面BDE的距离.
查看答案
对于四面体ABCD,给出下列四个命题
①若AB=AC,BD=CD,则BC⊥AD;
②若AB=CD,AC=BD,则BC⊥AD;
③若AB⊥AC,BD⊥CD,则BC⊥AD;
④若AB⊥CD,BD⊥AC,则BC⊥AD.
其中真命题的序号是
.(写出所有真命题的序号)
查看答案
试题属性
题型:解答题
难度:中等
Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.