Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA₁=2，AC=1，M，N分别是A₁B₁，BC的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面ACC₁A₁；
（II）求二面角M-AN-B的余弦值．

Answer

解法一：依条件可知AB、AC，AA1两两垂直，如图，以点A为原点建立空间直角坐标系A-xyz．
（I）利用线的方向向量与面的法向量垂直证线面平行．
（II）求出两个平面的法向量利用公式求出两个平面的夹角的函数值即可．
解法二：利用空间几何的点线面的定理与定义证明．
（I）设AC的中点为D，连接DN，A1D，证明四边形A1DNM是平行四边形，得出线线平行，用判定定理证线面平行．
（II）依定义作出二面角的平面角，在直角三角形中求它的三角函数值，再求角．
【解析】

解法一：依条件可知AB、AC，AA1两两垂直，
如图，以点A为原点建立空间直角坐标系A-xyz．
根据条件容易求出如下各点坐标：A（0，0，0），B（0，2，0），C（-1，0，0），A1（0，0，2），B1（0，2，2），C1（-1，0，2），M（0，1，2），（2分）
（I）证明：∵
是平面ACCA1的一个法向量，
且，
所以（4分）
又∵MN⊄平面ACC1A1，∴MN∥平面ACC1A1（6分）
（II）设n=（x，y，z）是平面AMN的法向量，
因为，
由（8分）
得
解得平面AMN的一个法向量n=（4，2，-1）（10分）
由已知，平面ABC的一个法向量为m=（0，0，1）（11分）
（13分）
∴二面角M-AN-B的余弦值是（14分）

解法二：
（I）证明：设AC的中点为D，连接DN，A1D
∵D，N分别是AC，BC的中点，
∴（1分）
又∵，
∴，∴四边形A1DNM是平行四边形
∴A1D∥MN（4分）
∵A1D⊂平面ACC1A1，MN⊄平面ACC1A1
∴MN∥平面ACC1A1（6分）

（II）如图，设AB的中点为H，连接MH，
∴MH∥BB1
∵BB1⊥底面ABC，
∵BB1⊥AC，BB1⊥AB，
∴MH⊥AC，AH⊥AB
∴AB∩AC=A
∴MH⊥底面ABC（7分）
在平面ABC内，过点H做HG⊥AN，垂足为G
连接MG，AN⊥HG，AN⊥MH，HG∩MH=H
∴AN⊥平面MHG，则AN⊥MG
∴∠MGH是二面角M-AN-B的平面角（9分）
∵MH=BB1=2，
由△AGH∽△BAC，得
所以
所以
∴二面角M-AN-B的余弦值是（14分）