Question

如图，以原点O为顶点，以y轴为对称轴的抛物线E的焦点为F（0，1），点M是直线l：y=m（m＜0）上任意一点，过点M引抛物线E的两条切线分别交x轴于点S，T，切点分别为B，A．
（I）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）求证：点S，T在以FM为直径的圆上；
（Ⅲ）当点M在直线l上移动时，直线AB恒过焦点F，求m的值．

Answer

（1）设抛物线方程为x2=2py，根据焦点坐标可得到，进而得到p的值，从而确定抛物线的方程．
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），然后对抛物线方程进行求导，表示出切线AM的斜率进而得到切线方程，然后令y=0可求出T的坐标进而得到直线FT的斜率，根据kAM•kFT=-1可验证点T在以FM为直径的圆上；同理可证点S在以FM为直径的圆上．
（3）根据抛物线的焦点坐标，设斜率为k可得到直线AB的方程，然后与抛物线方程联立消去y，得到关于x的一元二次方程，进而可得到两根之积等于-4，设点M（x，m），切线AM、BM的方程过点M可得到可消去x，再由x1x2=-4可得m的值．
【解析】
（I）设抛物线E的方程为x2=2py（p＞0），
依题意，
所以抛物线E的方程为x2=4y．
（Ⅱ）设点A（x1，y1），B（x2，y2）．x1x2≠0，否则切线不过点M
∵，∴切线AM的斜率，
方程为，其中
令y=0，得，点T的坐标为，
∴直线FT的斜率，
∵，
∴AM⊥FT，即点T在以FM为直径的圆上；
同理可证点S在以FM为直径的圆上，
所以S，T在以FM为直径的圆上．
（Ⅲ）抛物线x2=4y焦点F（0，1），可设直线AB：y=kx+1．
由，
则x1x2=-4．
由（Ⅱ）切线AM的方程为过点M（x，m），
得，
同理
消去x，得
∵x1≠x2，由上x1x2=-4
∴，即m的值为-1．