Question

已知函数f（x）=xlnx．
（I）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）讨论关于x的方程f（x）-m=0（m∈R）的解的个数；
（Ⅲ）当a＞0，b＞0时，求证：f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2．

Answer

（1）先求函数f（x）的值域，然后对函数f（x）进行求导，根据导函数的正反判断函数的单调性，进而可得到最小值；
（2）先由（1）可判断函数在不同区间的不同取值，然后对m的范围进行分析可确定方程f（x）-m=0（m∈R）的解的个数．
（3）先将不等式f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2转化为f（a）+f[（a+b）-a]≥f（a+b）-（a+b）ln2，然后令函数g（x）=f（x）+f（k-x）并将函数f（x）的解析式代入后求导数，根据导数的正负判断函数的单调性从而求出函数g（x）的最小值，并且任意x有g（x）大于等于g（x）的最小值，得证．
【解析】
（I）f（x）的定义域为（0，+∞）
，
当x∈（0，+∞）时，f′（x），f（x）的变化的情况如下：

所以，f（x）在（0，+∞）最小值是．
（Ⅱ）当，f（x）单调递减且f（x）的取值范围是；
当时，f（x）单调递增且f（x）的取值范围是
下面讨论f（x）-m=0的解；
所以，当时，原方程无解；
当时，原方程有唯一解；
当时，原方程有两解
（Ⅲ）原不等式可化为：f（a）+f[（a+b）-a]≥f（a+b）-（a+b）ln2
设函数g（x）=f（x）+f（k-x）（k＞0）
则g（x）=xlnx+（k-x）ln（k-x）（0＜x＜k）

令g'（x）＞0，则，∴，∴，
解得：，
令g'（x）＜0，解得：0＜x＜
∴函数g（x）在上单调递减，在上单调递增，
∴g（x）在（0，k）上的最小值为
∴当x∈（0，k）时，总有g（x），
即：
=
令x=a，k-x=b，则有：f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2．