Question

已知函数，是函数y=f（x）的极值点．
（I）求实数a的值；
（II）若方程f（x）-m=0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

Answer

（I）先求导函数f′（x），根据极值的定义可知，建立等式关系，解之即可；
（II）先根据函数的单调性研究出函数在（0，+∞）上的值域，然后要使方程f（x）-m=0有两不相等的实数根，即函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点，讨论b与0的大小，结合图象进行求解即可．
【解析】
（I）x＞0时，f（x）=（x2-2ax）ex
∴f′（x）=（2x-2a）ex+（x2-2ax）ex=[x2+2（1-a）x-2a]ex（2分）
由已知，，
∴，
∴，得a=1
（II）由（I）x＞0时，f（x）=（x2-2x）ex，
∴f′（x）=（2x-2）ex+（x2-2x）ex=（x2-2）ex
令f'（x）=0得x=（x=-舍去）
当x＞0时

所以，当时，f（x）单调递减，
当x∈时，f（x）单调递减，f（x）∈
∴x＞0时，f（x）∈
要使方程f（x）-m=0有两不相等的实数根，即函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点．
（1）当b＞0时，m=0或
（2）当b=0时，m∈
（3）当b＜0时，m