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已知函数f(x)=x2+(x≠0,常数a∈R). (1)讨论函数f(x)的奇偶性...

已知函数f(x)=x2+manfen5.com 满分网(x≠0,常数a∈R).
(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若函数f(x)在[2,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围.
(1)x2为偶函数,欲判函数f(x)=x2+的奇偶性,只需判定的奇偶性,讨论a判定就可. (2)处理函数的单调性问题通常采用定义法好用. 【解析】 (1)当a=0时,f(x)=x2 对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),有f(-x)=(-x)2=x2=f(x), ∴f(x)为偶函数. 当a≠0时,f(x)=x2+(x≠0,常数a∈R), 取x=±1,得f(-1)+f(1)=2≠0, f(-1)-f(1)=-2a≠0, ∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1). ∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)设2≤x1<x2, f(x1)-f(x2)==[x1x2(x1+x2)-a], 要使函数f(x)在x∈[2,+∞)上为增函数, 必须f(x1)-f(x2)<0恒成立. ∵x1-x2<0,x1x2>4, 即a<x1x2(x1+x2)恒成立. 又∵x1+x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16, ∴a的取值范围是(-∞,16].
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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