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已知数列{an}的前n项和为Sn,点(an+2,Sn+1)在直线y=4x-5上,...

已知数列{an}的前n项和为Sn,点(an+2,Sn+1)在直线y=4x-5上,其中n∈N*.令bn=an+1-2an.且a1=1.求数列{bn}的通项公式;若f(x)=b1x+b2x2+b3x3+…+bnxn,计算f′(1)的结果.
(1)把点的坐标代入到直线解析式中得到sn+1,推出sn,相减得到an+1=4an-4an-1∴an+1-2an=2(an-2an-1)(n≥2)根据bn=an+1-2an.且a1=1得到{bn}是公比为2的等比数列写出通项公式即可; (2)因为f(x)=b1x+b2x2+b3x3+…+bnxn,求出f′(x),则f′(1)=b1+2b2+…+nbn,由(1)知f′(1)是{n•2n+1}的前n项和,利用错位相减法得到即可. 【解析】 (1)依题意可得sn+1=4(an+2)-5=4an+3 ∴当n≥2时,sn=4an-1+3, 两式相减得an+1=4an-4an-1∴an+1-2an=2(an-2an-1)(n≥2)即bn=2bn-1(n≥2) ∴{bn}是公比为2的等比数列,又b1=a2-2a1=4 ∴bn=4•2n-1=2n+1 (2)f(x)=b1x+b2x2+…+bnxn ∴f′(x)=b1+2b2x+…+nbnxn-1 ∴f′(1)=b1+2b2+…+nbn 由(1)解知f′(1)=22+2•23+3•24+…+n•2n+1 ∴f′(1)是{n•2n+1}的前n项和, 错位相减法得f′(1)=4+(n-1)•2n+2
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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